一個數學機率問題.請教....

[668]

電影上說這是機率問題.但因為取樣變數.重新計算機率時.發生變化.

是否有版友說明答案66.6%的機率如何算出?

剛剛在看HBO電影播放"凱文史貝西主演的--21點"時.
教授問學生"班"
一個關於數學機率的有獎問答問題.

教授：電視現場節目--有獎問答--主持人說：這裡有三道門....其中有一道門..後面有輛跑車..剩下二道門後面是山羊..班現在你選一道門...後面的東西就是你的..(主持人之前就知道哪個門後面有跑車...)

班：第一道門..

教授：主持人說：很好！我現在打開第三道門..啦~啦啦..是一隻山羊..

教授又說：班：你要不要換個門?現在可以換個門..(此時主持人有可能騙妳.因為主持人知道哪個門後面有跑車...)

班：好..我換...

教授：你為什麼要換...

班：原本機率是33.3%..因為重新取樣...計算變數機率..如果我選擇"換"...得到跑車的機率變成66.6%....

請問如何計算與解釋班的說法?

[哈啦]

哈 我也是看了影片後一直想了解為什麼會是如此？

[some]

第三個門知道是羊之後

我覺得剩下兩個門不管選那一個都是 50% 的機率.. 就單純的2選1

但我在網路上有找到算法
http://www.urmoco.com/maestro/maestro_article.php?maestro_id=9&article_id=53

--

題目是，如果有三道門，只有一道有獎，凱文史貝西要吉姆史特格斯選一道，他選了A，接著，凱文史貝西告訴他C沒有獎，再給他一次機會，問他要不要換B，吉姆史特格斯選擇「要」

【凡人都能懂的版】

原因是本來選任何一個門的獲勝機率只有三分之一，在凱文史貝西告訴他C沒有之後，如果選擇B機率就成了三分之二。
這道理是很簡單的，吉姆史特格斯選了A之後，A的機率是三分之一，把「B和C」視為一體，加起來的機率是三分之二，當凱文史貝西說出C不是之後，他可以完全肯定如果獎在「B和C」這一組，就一定是B，所以這三分之二的機率就完全算在B頭上了。就這樣而已。

【有簡單機率背景的人的版】

問火行者這個問題的人，又追問，本來三個門的機率都是三分之一，確定C不是後，剩兩個門，為什麼不是各二分之一呢？這個就是統計進來的地方了，沒錯，如果是在沒有任何前題的情況下，直接把C拿掉，A和B的機率是各半的，但這是一種條件機率了，因為吉姆史特格斯已經選擇了A，所以凱文史貝西只能在B和C當中拿掉一個，此時每個門的「地位」就已經不平等，如果真的要用數學來算，就要分為吉姆史特格斯選對了門，凱文史貝西拿掉C的機率和吉姆史特格斯選錯了門時，凱文史貝西拿掉C的機率，這兩種情況來算，最後的計算結果，還是會跟上面一樣。（B是對的機率=「A是對的機率」X「B才是對的機率」+「A是錯的機率」X「B才是對的機率」=「1/3」X「0」+「2/3」X「1」=「2/3」）

---

我還是覺得很牽強

[668]

第三個門知道是羊之後

我覺得剩下兩個門不管選那一個都是 50% 的機率.. 就單純的2選1

但我在網路上有找到算法
http://www.urmoco.com/maestro/maestro_article.php?maestro_id=9&article_id=53

--

題目是，如果有三道門，只有一道有獎，凱文史貝西要吉姆史特格斯選一道，他選了A，接著，凱文史貝西告訴他C沒有獎，再給他一次機會，問他要不要換B，吉姆史特格斯選擇「要」

【凡人都能懂的版】

原因是本來選任何一個門的獲勝機率只有三分之一，在凱文史貝西告訴他C沒有之後，如果選擇B機率就成了三分之二。
這道理是很簡單的，吉姆史特格斯選了A之後，A的機率是三分之一，把「B和C」視為一體，加起來的機率是三分之二，當凱文史貝西說出C不是之後，他可以完全肯定如果獎在「B和C」這一組，就一定是B，所以這三分之二的機率就完全算在B頭上了。就這樣而已。

【有簡單機率背景的人的版】

問火行者這個問題的人，又追問，本來三個門的機率都是三分之一，確定C不是後，剩兩個門，為什麼不是各二分之一呢？這個就是統計進來的地方了，沒錯，如果是在沒有任何前題的情況下，直接把C拿掉，A和B的機率是各半的，但這是一種條件機率了，因為吉姆史特格斯已經選擇了A，所以凱文史貝西只能在B和C當中拿掉一個，此時每個門的「地位」就已經不平等，如果真的要用數學來算，就要分為吉姆史特格斯選對了門，凱文史貝西拿掉C的機率和吉姆史特格斯選錯了門時，凱文史貝西拿掉C的機率，這兩種情況來算，最後的計算結果，還是會跟上面一樣。（B是對的機率=「A是對的機率」X「B才是對的機率」+「A是錯的機率」X「B才是對的機率」=「1/3」X「0」+「2/3」X「1」=「2/3」）

---

我還是覺得很牽強


我也覺得怪怪的

問題條件重新選擇設定

答案也重新變化

應該是1/2吧

~what~what~what~what

[wufenpu]

1/2啦....他根本不可能確定是在B+C這組還是在A+C這組,
如果可以確定是在B+C這組,那後來的機率也不是66.6%,根本是100%了

[668]

1/2啦....他根本不可能確定是在B+C這組還是在A+C這組,
如果可以確定是在B+C這組,那後來的機率也不是66.6%,根本是100%了

你表達能力較好...:gimme

因為他重新選擇答案
選擇樣本數2
應該是1/2

[weiye]

Part 1:

將此問題推廣，假設有 1000 道門，由你選一道，

在你選完之後，有 999 道門是你沒有選到的，

大獎落在你選擇的那道門的機率是 1/1000，

大獎落在另外 999 道門的機率是 999/1000。

而主持人已經知道大獎在哪邊，

所以由你沒有選擇的 999 道門中開啟了 998 道門，

因此，然後問你，你要換嗎？

請記得，主持人是知道大獎在哪道門的，

所以主持人開啟 998 道門不是隨便亂開的，

主持人開啟 998 道門之後，現在剩下兩道門，

一個是你一開始用 1/1000 的機率選到的那扇門，

另一個，則是原本有 999/1000 機率會有大獎的那 999 道門，

卻被已知答案的主持人開啟了 998 道沒有大獎的門之後，所剩下的那道門，

主持人問你，你要換嗎？

你覺得從一開始就從 1000 道門挑一道，直接挑選的有大獎的機率大？

或是，被主持人開啟 998 道門之後，剩下的那一道門有大獎的機率大呢？




Part 2:

很多人會說，現在只剩下兩道門，

則應該機率各 1/2。

如果，一開始就只有兩道門，則機率各是 1/2 沒錯。

不過，現在已知的條件是有分兩的步驟，

如果恰只用到第二個步驟，

那就相當於把第一步驟所提供的訊息（主持人開起 998 道沒有大獎的門）置之不顧，

可是已然發生的情況，的確會影響到後來事件的機率估算方法不同（條件機率），

不能只看現在，卻忽略了已然發生的事件所提供的重要訊息。


相關參考資料：

1. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_11_1/index.html

2. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem (　←　英文版維基百科有插圖，比較清楚)

[668]

Part 1:

將此問題推廣，假設有 1000 道門，由你選一道，

在你選完之後，有 999 道門是你沒有選到的，

大獎落在你選擇的那道門的機率是 1/1000，

大獎落在另外 999 道門的機率是 999/1000。

而主持人已經知道大獎在哪邊，

所以由你沒有選擇的 999 道門中開啟了 998 道門，

因此，然後問你，你要換嗎？

請記得，主持人是知道大獎在哪道門的，

所以主持人開啟 998 道門不是隨便亂開的，

主持人開啟 998 道門之後，現在剩下兩道門，

一個是你一開始用 1/1000 的機率選到的那扇門，

另一個，則是原本有 999/1000 機率會有大獎的那 999 道門，

卻被已知答案的主持人開啟了 998 道沒有大獎的門之後，所剩下的那道門，

主持人問你，你要換嗎？

你覺得從一開始就從 1000 道門挑一道，直接挑選的有大獎的機率大？

或是，被主持人開啟 998 道門之後，剩下的那一道門有大獎的機率大呢？




Part 2:

很多人會說，現在只剩下兩道門，

則應該機率各 1/2。

如果，一開始就只有兩道門，則機率各是 1/2 沒錯。

不過，現在已知的條件是有分兩的步驟，

如果恰只用到第二個步驟，

那就相當於把第一步驟所提供的訊息（主持人開起 998 道沒有大獎的門）置之不顧，

可是已然發生的情況，的確會影響到後來事件的機率估算方法不同（條件機率），

不能只看現在，卻忽略了已然發生的事件所提供的重要訊息。


相關參考資料：

1. http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_29_11_1/index.html

2. http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

3. http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem (　←　英文版維基百科有插圖，比較清楚)


十分感謝回答
並提供資料


資料中提到這段資料

我就明白了

前提是

主持人知道每扇門後面有什麼。
主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。





Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述：

參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內裏有甚麼。
主持人知道每扇門後面有什麼。
主持人必須開啓剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。
主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。
如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。
參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。
轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？


[編輯] 解答
問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)：

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。
參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換將失敗。
在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為三種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的機率是2/3。

[哈啦]

我個人常常覺得，算某件事的機率是不是常和估算者的「角色」不同而有不同？
就是看你是站在誰的角度去看同一件事，機率的算法就不一樣？~embarass:

例如拿丟十次銅板來說，大家都知道每次出現正反面的機率都是二分之一，但假設你連丟了五次都是正面之後，丟第六次還是正面的機率，是否大家都會覺得「很小」？就和廟裡舉辦擲茭比賽，看誰連丟十次或更多都是聖茭就能獲獎，這就表示要一直丟一樣的是很難的事。

所以如果要連丟十次正面，好像就會用1/2自乘十次，機率是1/1024的樣子？但如果你在每丟完一次都把下次視為另一個獨立事件，那機率又是1/2？每次都這樣想，不就每次都有一半的機會贏？?:teeth

請教一下各位先進。

[marklin]

最後剩兩扇門,機率也只有1/2.
不然看那個大學教授有空的.
把情況模擬個1000次,看是不是變數選擇真的命中率會比較高.
這都是可以驗證的.

[yuan691014]

看起來是刪去法，不像機率

可能是他猜測主持人的心思
去掉不是的，剩下66%可能的

完全以非數學角度敘述... XD

[dmwc]

這的確只是刪去法，和機率無關

你去買大樂透，先買一張隨機選號，然後你和老闆說這張不要了，換一張

你認為是你選的那張會中，還是原本那張會中?

目前看過的新聞，只有原本那張中的人比較多，反而重選後沒聽說有人中

[ras0314]

我個人常常覺得，算某件事的機率是不是常和估算者的「角色」不同而有不同？
就是看你是站在誰的角度去看同一件事，機率的算法就不一樣？~embarass:

例如拿丟十次銅板來說，大家都知道每次出現正反面的機率都是二分之一，但假設你連丟了五次都是正面之後，丟第六次還是正面的機率，是否大家都會覺得「很小」？就和廟裡舉辦擲茭比賽，看誰連丟十次或更多都是聖茭就能獲獎，這就表示要一直丟一樣的是很難的事。

所以如果要連丟十次正面，好像就會用1/2自乘十次，機率是1/1024的樣子？但如果你在每丟完一次都把下次視為另一個獨立事件，那機率又是1/2？每次都這樣想，不就每次都有一半的機會贏？?:teeth

請教一下各位先進。


這是條件機率, 我沒修過, 所以用自己的寫法寫的,錯誤請指正, 謝謝

條件機率

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

例如連續丟3個銅板,

(1) P(A|B):連續丟出3次銅板, 條件是3次有2次是已出現頭, 則第3次丟出頭的機率
(2) P(B|A):連續丟出2次銅板, 條件是3次有3次是已出現頭, 則連續2次丟出頭的機率=1
(3) P(A): 連續丟出三次頭的機率是=1/8
(4) P(B): 連續丟出2次頭的機率=1/4

P(A|B)
=P(B|A)*P(A)/P(B)
=1*(1/8)/(1/4)
=1/2
連續丟出3次銅板, 條件是3次有2次是已出現頭, 則第3次丟出頭的機率=1/2

[哈啦]

http://img504.imageshack.us/img504/7515/56082644.gif

[未註冊]

http://img205.imageshack.us/img205/9136/boring.gif

[wufenpu]

這解答基本上是假設主持人會故意引導你，
算是賽局問題，而不是機率問題了。

[chennien]

去年在元智大學 (http://www.yzu.edu.tw)的 MIT (http://www.mit.edu) 營隊，也有玩這樣的遊戲。

還蠻有趣的囉！

www.flickr.com/photos/chennien/2731418081/sizes/l (http://www.flickr.com/photos/chennien/2731418081/sizes/l/)